初中几何题求解

zhaochenze · 发表于 2011-6-5 12:40:49

是否存在三边为连续自然数的三角形使得：（1）最大角是最小角的2倍（2）最大角是最小角的3倍。存在请求出3边长，不存在请证明。
第一小题已解出来4，5，6。求第二小题。。但我认为不存在- -| （百度表示鸭梨巨大）

朔雪X忆 · 发表于 2011-6-5 12:40:50

反证法不用三角函数：
设△ABC中，∠C为最小角，∠A为最大角。
由于大边对大角，故若设AB=n 则AC=n+1，BC=n+2
作∠ABC的三等分线，交BC边于D、E
△ABC∽△ABD BD:AB=AB:BC=AD:AC
所以得BD=n^2/(n+2) AD=(n^2+n)/(n+2)

△ADE∽△ADC DE:AD=AD:CD=AE:AC
所以得DE=(n^3+n^2)/(4n+8) AE=(n^2+n)/4

又因为∠BAD=∠DAE=∠EAC=∠C
所以AE=CE

于是可以得方程：
BC-BD-DE=AE
即(4-n)(n+1)(n+4)/(4n+8)=(n^2+n)/4
可得n = -1 || n = (-1 - Sqrt[33])/2 || n = (-1 + Sqrt[33])/2
与原题“为自然数”矛盾。因此不存在这样的三角形。
Q.E.D

zhaochenze · 发表于 2011-6-5 12:44:32

老师语：尽可能不要用三角函数- -|

击剑狂歌 · 发表于 2011-6-5 14:03:38

数学归纳法证明没有。。。

朔雪X忆 · 发表于 2011-6-5 14:59:12

我觉得有些怪啊……

imath · 发表于 2011-6-5 19:39:16

数学归纳法证明没有。。。
击剑狂歌发表于 2011-6-5 14:03

哦,忘了说明

要求:禁止用三角函数,只能用数学归纳法

几河 · 发表于 2011-10-25 11:21:07

三角函数方便，但是用起来感觉不爽...

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