CAS 表达式计算实现
本帖最后由 地主家的好儿子 于 2023-4-21 15:29 编辑准备分几个章节讲解在高级语言上实现代数表达式的功能，matlab中的符号系统运算让我感到很神秘，CAS，最近研究了一个很基本的CAS系统-Swan,它不太完善，但是可以一窥CAS的内核，符号系统是如何运行的，中间涉及到哪些内容 一、展开表达式的情况 1）不带有未知数的表达式 举个例子吧 (3+9)/2*5*pi 2）带有未知数的表达式存储
数学表达式通常由常数、符号、变量名组成 x*y+(2*x-1)*z 其中变量有3个，常量有2个，因为xyz三个都是未知数，所以表达式的值也是未知的， 3）表达式的展开举个例子吧(x-1)*(x+1) 初中数学,按逐项相乘x*x +x*(-1) +x*(1) -1*(1) --运行结果如下
x = sym('x') --定义一个成为x的变量
y = (x-1)*(x+1)--定义一个表达式y
print(tostring(y))
(x + -1*1)*(x + 1)
print(y:expand())--将表达式展开
-1*1 + -1*x + x*1 + x*x
代码在lua 5.1 环境下测试，在fxlua中环境中也测试通过
4）表达式的按规则合并x*x +x*(-1) +x*(1) -1*(1)对于x的阶数排序x二阶系数为1x一阶系数为0x零阶系数为-1表达式的系数数组为简化后情况 x*x-1，最基本的符号运算，在cas是如何进行的，来看下面的解释
多元变量升幂排序如果定义x,y都是变量,展开后可得（x+y）^3 = (x+y)*(x*x+x*y+x*y+y*y)=x*x*x + 2*x*x*y + x*y*y + x*x*y + 2*x*y*y+ y*y*y这里就涉及到一个升幂排列的问题，这不是最简的形式
我们习惯这样排列x^n*y^0,x^(n-1)*y^1,x^(n-2)*y^2,.....,x^0*y^n 并对相同的幂合并同类项，在代数里面我们称此形式为多项式的升幂形式
对于这样一个需求，我们要求在expand() 函数基础上，扩展出coeff()和幂排序和exp() 和 exp_order()两个功能coeff() 从表达式树结构上取出当前表达式的系数order() 从表达式树结构上取出当前表达式的对定义变量的指数比如 通过2*x*y 的系数是2 幂级因为有两个未知数所以，他的幂集为【1，1】同理 x*x*x + 2*x*x*y + x*y*y + x*x*y + 2*x*y*y+ y*y*y系数 1 2 1 1 2 1幂级 幂级相同是可以合并的简化后 x*x*x + 3*x*x*y+3*y*y*x+ y*y*y
当然含有 +x 和 -x 是可以相互抵消的,在运算中，也需要把抵消的情况去除掉，在swan代码中，这步没有实现好，是一个巨大的bug
更多元的情况以此类推 思维不能分割，技术可以拆分
分割线后是技术线路图
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多项式展开 expand（）
多项式基于升幂排序合并和系数提出 exp_order()和coeff（）
多项式因子分解 factor（）和cancel（）
带分母的表达式化简split () 本帖最后由 地主家的好儿子 于 2023-4-21 17:03 编辑
描述升幂化简问题花了这么多篇幅，代码稍显复杂和混乱,已经接近600行了
但至少解决了swan 里面无法正负项消除的bug
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接下来就是多项式求根问题root（）和simple（）两个函数族
原先的那几个函数又有点绷不住了
赞一个，难得有人研究这些技术。
顺便，可以参考eigenmath的实现：https://github.com/georgeweigt/eigenmath/blob/main/src/eval_multiply.c
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