[空间解析几何]§4.2? 单叶双曲面和双叶双曲面 |连载
§4.2? 单叶双曲面和双叶双曲面4.2.1 单叶双曲面在空间直角坐标系中，方程http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/5.2.files/image001.gif（a，b，c>0）（*）表示的曲面称为单叶双曲面。当a=b时，方程(*)表示旋转单叶双曲面。 (1)对称性由方程（*)可知，它表示的曲面关于坐标原点、坐标平面、坐标轴均是对称的，坐标原点是它的对称中心，坐标轴是它的对称轴，坐标平面是它的对称平面。(2)范围曲面(*)上的点在柱面http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/5.2.files/image002.gif的外部或柱面上。(3)形状曲面(*)与对称轴x轴，y轴分别交于两点，交点称为顶点，它们的坐标分别是(±a，0，0)，(0，±b，0)，与对称轴z轴没有交点，因此它的顶点只有四个。用平面z=k截曲面(*)得到的交线是椭圆，其方程是http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/5.2.files/image003.gifhttp://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/5.2.files/image004.gifz = k当k=0时，交线称为腰椭圆。当|k|无限增大时，曲面(*)与锥面http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/5.2.files/image005.gif可以任意接近，这个锥面称为单叶双曲面的渐近锥面。用平面y = k截曲面(*)得到的交线的方程是http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/5.2.files/image006.gifhttp://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/5.2.files/image007.gify = k当|k|＜b时，交线为双曲线，它的实轴平行于x轴，虚轴平行于z轴；当|k|＞b时，交线是双曲线，它的实轴平行于z轴，虚轴平行于x轴；当|k|=b时，交线为两条相交直线。4.2.2 双叶双曲面在空间直角坐标系中，方程http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/5.2.files/image008.gif（a，b，c>0）
（**）表示的曲面称为双叶双曲面。当a=b时，方程(**)表示旋转双叶双曲面。 (1)对称性由方程（**)可知，它表示的曲面关于坐标原点、坐标平面、坐标轴均是对称的，坐标原点是它的对称中心，坐标轴是它的对称轴，坐标平面是它的对称平面。(2)范围在z = ±c两个平面之间没有曲面(**)上的点。(3)形状曲面(**)与对称轴x轴，y轴没有交点，与对称轴z轴交于两个点，交点称为顶点，它们的坐标分别是(0，0，±c)，(0，±b，0)，因此它的顶点只有两个。用平面z=k截曲面(**)得到的交线方程是http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/5.2.files/image009.gifhttp://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/5.2.files/image010.gifz = k当|k|>c时，交线是椭圆。锥面http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/5.2.files/image011.gif 是双叶双曲面的渐近锥面。当|k|<c时，没有交点。当|k|=c时，交点为一点。用平面y = k截曲面(**)得到的交线是双曲线，其方程是http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/5.2.files/image012.gifhttp://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/5.2.files/image013.gify = k它的实轴平行于z轴，虚轴平行于x轴。
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