[空间解析几何]§5.3 二次方程的化简与二次曲线的分类 |连载
§5.3 二次方程的化简与二次曲线的分类5.3.1 二次方程的化简根据坐标系下二次方程系数的变化规律，可通过选取适当的坐标系化简方程.设二次方程为http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image001.gif （3.1）其中http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image002.gif .化简二次方程的步骤一般分为两步：第一步：通过坐标系的旋转变换，将一条坐标轴变换到二次曲线的对称轴；第二步：通过坐标系的平移变换，按中心型曲线、非中心型曲线将坐标系的原点变换到曲线的中心、对称中心或顶点，从而得到标准坐标系和标准方程.第一步坐标系的旋转变换对坐标系O-xy作旋转变换，http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image003.gif （3.2）旋转角θ满足http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image004.gif 0≤θ<π
（3.3）则二次方程化为 http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image005.gif （3.4）第二步坐标系的平移变换（分两种情形）情形1：设 http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image006.gif，对坐标系O’-x’y’作平移变换http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image007.gif方程化简为http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image008.gif （3.5）其中
http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image009.gif 情形2：设二次方程的二次项系数至少有一个为0，不妨设http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image010.gif ，下面根据具体情况继续分类如下，1）若http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image011.gif ，对坐标系O’-x’y’作平移变换http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image012.gif方程化简为：http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image013.gif
（3.6）2）若http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image014.gif ，对坐标系O’-x’y’作平移变换http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image015.gif方程化简为http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image016.gif （3.7）其中http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image017.gif .5.3.2 二次曲线的分类
二次曲线分为中心型曲线和非中心型曲线两种.1. 中心型曲线当经旋转变换后有http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image006.gif时，曲线有唯一的对称中心，这类曲线称为中心型曲线，其标准方程为http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image008.gif.
根据标准方程中系数的正负号，二次曲线可分为五类：（I）椭圆型：http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image018.gif（1）椭圆条件为 http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image019.gif ，
标准方程为 http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image020.gif（2）无轨迹（虚椭圆）条件为http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image021.gif ，标准方程为 http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image022.gif（3）一点条件为http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image023.gif ，
标准方程为 http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image024.gif（II）双曲型： http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image025.gif（4）双曲线条件为http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image026.gif ，
标准方程为http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image027.gif 或 http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image028.gif（5）两条相交直线条件为http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image029.gif ，
标准方程为 http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image030.gif2. 非中心型曲线（抛物型曲线）当经旋转变换后二次方程的二次项系数至少有一个为0，可将方程化简，此时它们所表示的二次曲线称为抛物型曲线，它是非中心型曲线.其标准方程为http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image013.gif 或 http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image016.gif.根据标准方程中系数的关系，又可分为四类：（III）抛物型： http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image010.gif（6）抛物线条件为http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image014.gif ，
标准方程为 http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image031.gif（7）一对平行线条件为http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image032.gif ，标准方程为 http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image033.gif（8）一对虚平行线条件为http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image034.gif ，标准方程为 http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image035.gif（9）一对重合直线条件为http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image036.gif ，标准方程为 http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.3.files/image037.gif
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