[空间解析几何]§5.4 二次曲线的不变量 |连载
§5.4 二次曲线的不变量5.4.1 二次曲线的不变量设二次曲线方程的系数组成的一个函数，若在任意一个直角坐标系变换下，它们的函数值不变，则称这个函数为这条曲线的一个不变量.通常称为正交不变量.注1：二次曲线的不变量刻画了其不随着坐标系的变化而变化的共同几何性质；注2：借助于二次曲线的不变量，根据二次曲线方程的系数，可以判定曲线的特性和形状.在给定的直角坐标系中，设二次曲线的方程为http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.4.files/image001.gif ，则上述二次曲线的不变量为1）I1=http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.4.files/image002.gif是二次曲线的不变量；2）I 2=http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.4.files/image003.gif 是二次曲线的不变量；3）I 3=http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.4.files/image004.gif 是二次曲线的不变量4）K1=http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.4.files/image005.gif + http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.4.files/image006.gif是二次曲线在坐标系旋转变换的不变量；对于I 2= I 3=0的二次曲线，K1也是在坐标系平移变换的不变量；K1称为二次曲线的半不变量.5.4.2 二次曲线的类型和形状的判定类型类别判别标志化简后的方程I 椭圆型I 2>0（1）椭圆（2）无轨迹（3）一点I 3≠0，I3与I1反号I 3≠0，I3与I1同号I 3=0http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.4.files/image007.gif其中http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.4.files/image008.gif为方程http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.4.files/image009.gif的两个实根.II双曲型I 2<0（4）双曲线（5）两条相交直线I 3≠0I 3=0III抛物型I 2=0（6）抛物线I 3≠0http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.4.files/image010.gif（7）两条平行直线（8）无轨迹（9）一条直线I 3=0，K1<0I 3=0，K1>0I 3=0，K1=0http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/1.4.files/image011.gif
类型：识别标志非退化：I 3=0退化：I 3=0椭圆型：
I 2>0椭圆或无轨迹一点双曲型：
I 2<0双曲线两条相交直线抛物型：
I 2=0抛物线两条平行直线（不同的或重合的）或无轨迹
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