反函数的奇怪问题

noivan

我想用sin,cos,tan的函数和反函数表示y=arccotx
已经得到一个表达式可以表示y=(pi/2)-arctanx（是正确的）


可是我换个角度推导y=cotx=1/tanx


那么tanx=1/y


x=arctan1/y


->y=arctan1/x


可是用几何画板画图得到的两个图却不同，这是为什么？推导哪里出了问题？请各位指教，谢谢！

imath

表示晕题了.
但是你要知道..3脚函数具有周期性,这一点很不爽.

noivan

发些内容以供抛砖引玉
arctan(x)这种函数是多值函数，同一个x值对应于很多的y值。
比如 arcsin(x),x取【-1,1】，对于每一个x值，y其实有很多，但我们习惯上取了y在[-pi/2,pi/2]的区间。

你得到的两个图，相当于取了不一样的值域区间，要是把每个区间都补完，你会发现他们是一样的

你推倒的时候没有考虑 多值函数的值域问题，要是考虑了，是可以得到的

你得到的都是正确的结果，只不过你还没看明白。
图中：图像向上和向下以pi为单位平移，得到的完整图像，两个图是一样的。
式子：说明(pi/2)-arctanx=arctan1/x
当 x>0,它恰是满足的。

假如 考虑到多值函数的完整表示，
反正切应表示为 y=n*pi+arctan(x) (n取所有整数，arctan(x)取[-pi/2,pi/2])
那么,两式应表示为：
y=(pi/2)-arctanx+n*pi (n取所有整数)
y=arctan1/x+m*pi      (m取所有整数)
这样两式是相等的

因为
arctan(1/x)=
pi/2-arctan(x)   (x>0)
-(pi/2+arctan(x))  (x<0)

所以两式相等

imath

arccot x=兀/2-arctan x
恒成立

imath

arctan 1/x=兀&#8226;sgnx/2  -arctan x

hcz

最后那步把函数翻折了

imath

直接把10JB给我吧~~

Σ理论EQN

直接把10JB给我吧~~
imath 发表于 2010-10-5 14:24

好直接。。。

yzhang37

Arccotan(X) = tan^-1(X) + 2 * tan^-1(1)
是MSDN里的。可以吗？

导出的数学函数
以下为非基本数学函数的列表，皆可由基本数学函数导出：

函数	由基本函数导出之公式
Secant（正割）	Sec(X) = 1 / Cos(X)
Cosecant（余割）	Cosec(X) = 1 / Sin(X)
Cotangent（余切）	Cotan(X) = 1 / Tan(X)
Inverse Sine （反正弦）	Arcsin(X) = Atn(X / Sqr(-X * X + 1))
Inverse Cosine （反余弦）	Arccos(X) = Atn(-X / Sqr(-X * X + 1)) + 2 * Atn(1)
Inverse Secant （反正割）	Arcsec(X) = Atn(X / Sqr(X * X - 1)) + Sgn((X) - 1) * (2 * Atn(1))
Inverse Cosecant （反余割）	Arccosec(X) = Atn(X / Sqr(X * X - 1)) + (Sgn(X) - 1) * (2 * Atn(1))
Inverse Cotangent （反余切）	Arccotan(X) = Atn(X) + 2 * Atn(1)
Hyperbolic Sine （双曲正弦）	HSin(X) = (Exp(X) - Exp(-X)) / 2
Hyperbolic Cosine （双曲余弦）	HCos(X) = (Exp(X) + Exp(-X)) / 2
Hyperbolic Tangent （双曲正切）	HTan(X) = (Exp(X) - Exp(-X)) / (Exp(X) + Exp(-X))
Hyperbolic Secant （双曲正割）	HSec(X) = 2 / (Exp(X) + Exp(-X))
Hyperbolic Cosecant（双曲余割）	HCosec(X) = 2 / (Exp(X) - Exp(-X))
Hyperbolic Cotangent（双曲余切）	HCotan(X) = (Exp(X) + Exp(-X)) / (Exp(X) - Exp(-X))
Inverse Hyperbolic Sine（反双曲正弦）	HArcsin(X) = Log(X + Sqr(X * X + 1))
Inverse Hyperbolic Cosine（反双曲余弦）	HArccos(X) = Log(X + Sqr(X * X - 1))
Inverse Hyperbolic Tangent（反双曲正切）	HArctan(X) = Log((1 + X) / (1 - X)) / 2
Inverse Hyperbolic Secant（反双曲正割）	HArcsec(X) = Log((Sqr(-X * X + 1) + 1) / X)
Inverse Hyperbolic Cosecant	HArccosec(X) = Log((Sgn(X) * Sqr(X * X + 1) + 1) / X)
Inverse Hyperbolic Cotangent （反双曲余切）	HArccotan(X) = Log((X + 1) / (X - 1)) / 2
以 N 为底的对数	LogN(X) = Log(X) / Log(N)

以上内容出自 Microsoft Development 6.0 Network 联机帮助

diameter

Arccotan(X) = tan-1(X) + 2 * tan-1(1)
是MSDN里的。可以吗？


yzhang37 发表于 2010-10-6 16:05

MSDN？
你玩VC还是VB还是VC#
我转战MFC很多年了

noivan

Arccotan(X) = tan-1(X) + 2 * tan-1(1)
是MSDN里的。可以吗？


yzhang37 发表于 2010-10-6 16:05

这个式子是怎么推导出来的呀？我对过程很感兴趣

imath

多半是错的

imath

不用推倒，因为是错的

yzhang37

微软公司推导的，与我无关。
至于math 3的算法，也应该是微软公司推导的，与我无关。

yzhang37

MSDN？
你玩VC还是VB还是VC#
我转战MFC很多年了
diameter 发表于 2010-10-6 16:43

mSDN 6.0

imath

那就推错了,怎么可能是一次函数的关系?