用不变量判定圆锥曲线的类型

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设二次曲线方程的系数组成的一个函数，若在任意一个直角坐标系变换下，它们的函数值不变，则称这个函数为这条曲线的一个不变量.通常称为正交不变量.

注1：二次曲线的不变量刻画了其不随着坐标系的变化而变化的共同几何性质；

注2：借助于二次曲线的不变量，根据二次曲线方程的系数，可以判定曲线的特性和形状.

在给定的直角坐标系中，设二次曲线的方程为

　，

则上述二次曲线的不变量为

1）I1=

是二次曲线的不变量；

2）I 2=

是二次曲线的不变量；

3）I 3=

是二次曲线的不变量

4）K1= +

是二次曲线在坐标系旋转变换的不变量；

对于I 2= I 3=0的二次曲线，K1也是在坐标系平移变换的不变量；

K1称为二次曲线的半不变量.

5.4.2 二次曲线的类型和形状的判定

类型	类别	判别标志	化简后的方程
I 椭圆型 I 2>0	（1）椭圆 （2）无轨迹 （3）一点	I 3≠0，I3与I1反号 I 3≠0，I3与I1同号 I 3=0	其中为方程 的两个实根.
II双曲型 I 2<0	（4）双曲线 （5）两条相交直线	I 3≠0 I 3=0
III抛物型 I 2=0	（6）抛物线	I 3≠0
	（7）两条平行直线 （8）无轨迹 （9）一条直线	I 3=0，K1<0 I 3=0，K1>0 I 3=0，K1=0

类型：识别标志	非退化：I 3=0	退化：I 3=0
椭圆型： I 2>0	椭圆或无轨迹	一点
双曲型： I 2<0	双曲线	两条相交直线
抛物型： I 2=0	抛物线	两条平行直线（不同的或重合的）或无轨迹

其中，iEquation 2nd Se为了代码简单起见，并不包含半不变量的计算。本来我以为要对着书打很久的。。结果网上一搜，还真有相关文本，就直接偷懒复制过来了。。

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iE Se在这里：http://www.cncalc.org/thread-5416-1-1.html