[空间解析几何]空间解析几何第一章、第二章|连载

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向量代数是重要的数学工具，利用向量的代数运算来研究几何图形性质的方法称为向量法，本章系统地介绍向量的代数运算，从而为有效地利用向量法研究几何奠定基础，同时也为坐标系理论提供依据。在解析几何中常常将坐标法和向量法结合起来使用。

§1.1 向量及其线性运算

1.1.1 向量及其相关概念

在现实生活中，有多种不同类型的量，其中有一种只用大小就可以表示的量，称为数量或标量，另外还有一些量比较复杂，它们除了有大小，还有方向.通常把既有大小，又有方向的量称为向量（或矢量）.

向量可用空间中的有向线段表示，有向线段的起点和终点分别称为向量的起点和终点.向量的方向是从有向线段的起点指向终点，向量的大小用线段的长度表示，称为向量的模（或长度）.起点是A、终点B的向量记为 ，有时用α表示.模记作｜ ｜.

模等于1的向量称为单位向量，模等于0的向量称为零向量，记作o，其方向不确定.

两个向量a,b，若它们的方向相同，模相等，则称为相等的向量，记作a=b.

注1  向量只考虑大小和方向，用有向线段表示向量时，起点可以任意取.

注2  向量可以任意平行平移，移动后的向量还是原来的向量.

自由向量：起点可以任意取的向量.

两个向量，若它们的方向相反，模相等，则称为互为相反的向量(或互为反向量).

向量α的反向量记作-α.显然有 = - .

若一组向量所在的直线都平行于同一直线，则称这一组向量为共线的或平行的.若向量a与向量b共线，则记作a∥b.对于a,b两个向量，若它们所在的直线互相垂直，则称a，b两个向量互相垂直，记作a⊥b.

若一组向量所在的直线都平行于同一平面，则称这一组向量为共面的.

同样地，可以定义一个向量与一条直线(或一个平面)平行或垂直.

1.1.2 向量的加法

定义：对于两个向量a,b,若以空间中任意点A为起点连续作出 =a, =b,则向量 =c称为向量a与b的和，记作a+b.这种由两个向量求它们和的运算，称为向量的加法.

表示向量加法的规则有两种：三角形法则和平行四边形法则（如图）.

向量的加法运算满足以下运算规律：

(1) 交换律 a+b=b+a;

(2) 结合律 (a+b)+c=a+(b+c);

(3) a+o=a;

(4) a+(-a)=o.

注
对于n个向量的和，若以空间中任意点为起点，连续作出这n个向量，使得它们依次首尾相接，则以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量就是这n个向量的和.

若n个向量首尾相接构成一个封闭折线，则它们的和为零向量.

对于两个向量a，b，a与b的反向量的和称为a与b的差，记作a-b.这种由向量a,b求它们的差的运算，称为向量的减法.即 a-b=a+(-b).

根据向量加法(含有减法)运算的三角形法则，对于任意两个向量a，b，容易知道下述关系式是成立的：

(a)  |a±b|≤|a|+|b|；

(b)  |a±b|≤|a|-|b|.

这些是用向量形式表示的三角形三边之间关系的不等式，称为三角不等式.

1.1.3 数乘向量

定义：实数λ与向量a的乘积λa是一个向量，它的模|λa|=|λ||a|,它的方向：当λ＞0时与a的方向相同，当λ＜0时与a的方向相反，当λ=0时λa=o.上述定义的这种运算称为数乘向量.

注  1）根据数乘向量的定义可知，λa是与a共线的向量.

2）若a是非零向量，a0是与a同方向的单位向量，则a0=|a|a0.

3）数乘向量的运算规律：对于任意向量a，b和任意实数λ，μ有

(a) 1a=a；

(b) 结合律：λ(μa)=(λμ)a；

(c) 分配律：(λ+μ)a=λa+μa；

(d) 分配律：λ(a+b)=λa+λb.

4) 向量加法和数乘向量的运算统称为向量的线性运算.

例:设AM是三角形ABC的中线，试证：

.

证明:如图，因为 与 ，从而

，

所以命题结论成立.

1.1.4 共线或共面的向量

设a1，a2，…，an是一组向量，k1，k2，…，kn是一组实数，则

k1a1 + k2a2+ … +knan

是一个向量，称为向量组a1，a2，…，an的一个线性组合，k1，k2，…，kn称为这个组合的系数.

定理1  设向量e≠o,则两个向量r与e共线的充分必要条件是

r=λe,

其中实数λ被r和e唯一确定.

定理2  向量a与b共线的充分必要条件是存在不全为零的实数l,m使得

la + mb = o.

定理3  设两个向量e1与e2不共线，则向量r与e1，e2共面的充分必要条件是

r=le1 +me2，

其中实数l,m被e1、e2与r唯一确定(即r可以唯一地表示为e1、e2的线性组合).

定理4  三个向量a，b，c共面的充分必要条件是存在不全为零的实数l,m,n使得

la + mb + nc = o.

定理5  设三个向量a，b，c不共面，则空间中任意向量r总可以表示为

r = la + mb + nc

其中l,m,n是由a，b，c和r唯一确定的实数.

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§1.2 空间直角坐标系，向量和点的坐标

向量的线性运算为坐标系理论提供了依据.本节将对向量引进它的坐标，也给点引进它的坐标，从而把坐标法和向量法结合起来使用.
1.2.1 标架，向量和点的坐标

定义：空间中任意三个有序的不共面向量e1，e2，e3称为空间中的一组基.对于空间中任意向量r,它被唯一地表示为

r = xe1 + ye2 + ze3
其中有序三实数组x,y,z称为向量r关于基e1，e2，e3
的坐标，记作

｛x,y,z｝，或 r={x,y,z}.
向量有了坐标后，可以对空间中点引进坐标.在空间中任意取定一点O，则空间中任意点P与向量相互唯一决定，所以称向量为点P的定位向量或向径.
定义：空间中的一个点O和一组基e1，e2，e3称为空间的一个仿射坐标系或仿射标架，记作［O；e1，e2，e3］，其中点O称为坐标原点，三个向量e1，e2，e3称为坐标向量或基本向量.对于空间中的任意点P，P点的定位向量关于基e1，e2，e3的坐标｛x,y,z｝称为P点在仿射坐标系［O；e1，e2，e3］中的坐标，记作P(x,y,z)或(x,y,z).
设［O；e1，e2，e3］为空间中的一个仿射坐标系，过坐标原点O，分别以e1，e2，e3为方向的(有向)直线分别称为x轴,y轴,z轴(或Ox轴，Oy轴，Oz轴)，统称为坐标轴，由每两根坐标轴决定的平面称为坐标平面，分别是Oxy坐标平面，Oyz坐标平面，Ozx坐标平面.坐标平面将空间分为八个部分，称为八个卦限.坐标系［0；e1，e2，e3］也记作O-xyz.
定义：设［0；e1，e2，e3］为空间中的一个仿射坐标系.若坐标向量e1，e2，e3都是单位向量，并且两两互相垂直，则称［O；e1，e2，e3］为空间直角坐标系或正交标架.
注：1）空间直角坐标系是特殊的仿射坐标系，点或向量在空间直角坐标系中的坐标称为直角坐标，在仿射坐标系中的坐标称为仿射坐标.
2）若没有特别申明，则在以后采用的坐标系都要求是三个坐标向量构成右手系的空间直角坐标系，并记作［O；i，j，k］.
1.2.2 用坐标表向量的线性运算

在空间仿射坐标系［O；e1，e2，e3］中，设向量

a=｛a1，a2，a3｝，b=｛b1，b2，b3｝，c=｛c1，c2，c3｝，任意实数λ，则

(1) a + b ={a1,a2,a3}+｛b1，b2，b3｝

?=(a1+b1)e1+ (a2+b2) e2+ (a3+b3)e3,
　={a1+b1,a2+b2,a3+b3}.
这表明，两个向量和的坐标等于这两个向量对应坐标的和；同样的方法可以得到，两个向量差的坐标等于这两个向量对应坐标的差；

(2) λa={λa1，λa2，λa3}.
这表明，数乘向量的坐标等于这个向量的坐标乘上同一个实数；

(3) 设向量，其中P1，P2两点的坐标分别为(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2),则

r= =(x２-x1)e1+(y2-y1)e2+(z2-z1)e3
={x2-x1，y2-y1，z2-z1}.
这表明，向量的坐标等于其终点的坐标减去其起点的坐标.
点的坐标是它的定位向量的坐标，而向量的坐标等于其终点的坐标减去其起点的坐标.这表明了点的坐标与向量的坐标之间的关系.
对于线段AB(A≠B)，若点P满足 ，则称点P为将线段AB分成定比为λ的分点.当λ＞0时， P点是线段AB内部的点，称P为内分点；当λ＜0时，点P是线段AB外部的点，称P为外分点；当λ=0时，P点与A点重合.
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，P(x，y，z)三点共线，P点分线段AB成定比λ(λ≠-1),则分点P的坐标
.

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§1.3 向量的内积

1.3.1 向量的投影

定义：设给定空间中一点P与一条直线l，则通过点P作平面垂直于直线l，并相交于P′点，通常称点P′为点P在直线l上的投影或射影

设a，b为两个向量，向量a的起点P，终点Q在向量b所在直线l上的投影分别为P′点与Q′点，则向量称为向量a在向量b上的投影向量.

若b0是与向量b同方向的单位向量，=λb0，则λ称为向量a在向量b上的投影数量，简称投影，记作?Prjba=λ.

设a，b是两个非零向量，由空间中任意点O为起点作向量 =a与 =b，则由射线OA与射线OB构成的角度在0与π之间的那个角，称为向量a与b的夹角，记作〈a，b〉或∠(a，b).当〈a，b〉=π/2时，称这两个向量a，b是互相垂直的，记作a⊥b.

向量投影的性质

(1) 设a，b为任意两个向量，则Prjb a=|a|cos〈a，b〉.

(2) Prjb(a1+a2)=Prjba1 + Prjba2.

(3) Prjb(λa)=λPrjba.

例：设i，j，k为两两互相垂直的成右手系的单位向量，a=xi+yj+zk，试证x，y，z分别是a在i，j，k上的投影数量.

证明：因为Prji a=Prji （xi+yj+zk），从而由性质(2)和性质(3)可知，

PrjI a=xPrji i+yPrji j+zPrji k.

?因为i，j，k是互相垂直的单位向量，于是由性质(1)可知

Prjii=1，Prjij=0，Prjik=0.??

所以，PrjI a=x.同理可证Prjj a=y，Prjk a=z.

注意，向量a在向量b上的投影与向量b的方向有关，而与向量b的模无关.因此，向量a在向量b上的投影也称为在方向b上的投影.

1.3.2 向量的内积

定义：向量a与b，则这两个向量的模和它们夹角的余弦的乘积称为向量a与b的内积或数量积，记作

?ab=|a||b|cos〈a，b〉.

注（1）显然，两个向量的内积是数量.

（2）根据向量内积的定义，若a≠o，b≠o，则

?cos〈a，b〉=（ab）/（|a||b|），

设a，b是任意两个向量，则a⊥b的充分必要条件是ab=0.

1.3.3 用坐标表向量的内积运算

在空间直角坐标系［O；i，j，k］中，设向量a={a1，a2，a3}，b={b1，b2，b3}，则

ab=a1b1 + a2b2 + a3b3，

这表明，在空间直角坐标系中，两个向量的内积等于它们的对应坐标的乘积之和.

若P1，P2两点的坐标分别是(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2 )，则该两点之间的距离

.

所以

cos〈a，b〉= .

在空间直角坐标系［Ｏ；i，j，k］中，向量r与三个坐标向量i，j，k之间的夹角α，β，γ称为向量r的方向角，方向角的余弦cosα，cosβ，cosγ称为向量r的方向余弦.

若r={x，y，z}，则其方向余弦为

cosα= ，

cosβ= ，

cosγ= .

并且?cos2α+cos2β+cos2γ=1.

通常把与一个向量的方向余弦成比例的三个数称为此向量的一组方向数.

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§1.4 向量的外积与混合积

1.4.1 向量的外积与混合积

1．向量的外积

定义：两个向量a与b的外积是一个向量，记作a×b，它的模

|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉，

它的方向与两个向量a和b都垂直，并且a，b，a×b三个向量依序构成右手系.

根据向量外积的定义可知，|a×b|表示以a，b为邻边的平行四边形的面积.

设a，b是任意两个向量，则a∥b的充分必要条件是a×b=o.

向量外积的运算规律：

(1) a×b=-b×a (反交换律)，

(2) (λa)×b=λ(a×b)，

(3) (a+b)×c=a×c+b×c (右分配律)，

(4) a×(b+c)=a×b+a×c (左分配律).

2．向量的混合积

定义：设a，b，c是空间中三个向量，则(a×b)c称为三个向量a，b，c的混合积，记作(a,b,c)或(abc).

设a，b，c为空间中三个向量，则|(a×b) c|的几何意义表示以a，b，c为棱的平行六面体的体积.

因为(a,b,c)=(a×b)c=|a×b||c|cos〈a×b，c〉，从而混合积(a,b,c)的符号是正还是负取决于∠(a×b，c)是锐角还是钝角，即a×b与c是指向a，b所在平面的同侧还是异侧，这相当于a，b，c三个向量依序构成右手系还是左手系.

定理：三个向量a，b，c共面的充分必要条件是(a,b,c)=0.

混合积的性质：

(1) (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b) = - (b,a,c) = - (a,c,b) = - (c,b,a);

(2) a×bc=ab×c.

1.4.2 用坐标表示向量的外积和混合积

?在空间直角坐标系［O；i，j，k］中，向量i，j，k依序构成右手系，则

i×j=k，j×k=i，k×i=j，

j×i= - k，k×j= - i，i×k= - j，

i×i=j×j=k×k=0.

设向量

a=｛a1，a2，a3｝，b=｛b1，b2，b3｝，c=｛c1，c2，c3｝，

则

a×b=(a2b3 - a3b2)i + (a3b2 - a2b3)j + (a1b2 – a2b1)k.

a×b和(a,b,c)用行列式分别表示为

和   .

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第一章
例
题

例1  试证P点在直线AB上的充分必要条件是存在实数λ，μ使得

，

并且λ+μ=1，其中O是不在直线AB上的任意点.

证明：必要性：设P点在直线AB上，则共线.根据判定定理可知，存在不全为零的实数使得=0. 于是

=0

从而.
由于A，B是相异两点，并且不全为零，因此≠0. 所以结论成立，其中取λ= ，μ=，并且λ+μ=1(如图).

充分性：由λ+μ=1可得λ=1-μ，于是

，

从而.
因此， 与 共线，并且有公共点A，所以P点在直线AB上.

例2 试证：四面体的对棱中点的连线交于一点.

证明：在四面体ABCD中(如图)，设 ? ，

建立空间仿射坐标系［A；e1，e2，e3］，则四面体ABCD的各顶点坐标分别

为A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，D(0，0，1).于是相应的各棱中点坐标分别为：E(1/2，0，0)，F(1/2，1/2，0)，G(0，1/2，0)，L(0，1/2，1/2)，M(0，0，1/2)，N(1/2，0，1/2). 因此，EL的中点坐标为(1/4，1/4，1/4).

同理可求出FM，GN的中点坐标都是(1/4，1/4，1/4) . 所以，四面体的对棱中点连线交于一点.

在用坐标方法研究几何问题时，需要根据具体问题选取合适的坐标系，若所研究的问题涉及到度量，则应选取空间直角坐标系［O；i，j，k］；若所研究的问题仅属于线性运算的范围，为了使得问题的讨论更加简捷，则可选取空间仿射坐标系［O；e1，e2，e3］.

例3：设三个向量a，b，c两两互相垂直，|a|=1，|b|=|c|=2，并且向量r=a+b-c.试求r的模，以及r分别与a，b，c的夹角.

解：因为r2=(a+b-c)2=a2+b2+c2+2(ab-ac-bc)，于是由题设条件可得r2=1+4+4=9， |r|=3.因为

cos〈r，a〉=

cos〈r，b〉=

cos〈r，c〉=

所以，〈r，a〉=arccos（1/3），〈r，b〉=arccos(2/3)，〈r，c〉=arccos(-2/3).

例4：试证：三角形的三条高线交于一点.

证明：设△ABC的BC边与CA边上的高线AD与BE交于点P(如图).连接P，C两点， 并设 =a， =b， =c，则 a⊥(b-c)，b⊥(a-c).

于是

a(b-c)=0，b(a-c)=0.

因此

c(b-a)=0.

即，这表明PC在AB边上的高线上.所以三角形的三条高线交于一点.

例5  试证对于任意两个向量a，b，有(a×b)×a=a2b-(ab)a.

证明：若a与b共线，则结论显然成立.设a与b不共线，则(a×b)×a与a，b共面.
于是

(a×b)×a=la+mb.      (1)

将式(1)的两边与a作内积，可得

la2+m(ab)=0.       (2)

将式(1)的两边与b作内积，可得

[(a×b)×a]b=l(ab)+mb2.

但是(a×b)(a×b)=〔(a×b)×a〕b=l(ab)+mb2，因此

l(ab) + m b2 =(a×b)2.       (3)

将式(2)的两边乘以b2，式(3)的两边乘以ab，再相减，可得

l (a2b2-(ab)2)=-(a×b)2(ab)

根据向量的内积与外积的定义可知

(a×b)2+(ab)2 = a2b2，

所以

l=- ab       (4)

将式(4)代入式(2)可得

?m=a2.       (5)

所以将式(4)、式(5)代入式(1)，可知结论成立.

例6 试证(双重外积公式)：对于任意向量a，b，c，有

(a×b)×c=(ac)b-(bc)a，

a×(b×c)=(ac)b-(ab)c.

证明：若a，b，c中，a与b共线，则第一式显然成立.

设a与b不共线，则a×b与a，b不共面，于是c可以表示为

c = la + mb + n(a×b)       (1)

其中l，m，n是实数.

将式(1)的两边与(a×b)作外积，可得

(a×b)×c =l(a×b)×a - m(b×a)×b.       (2)

而

(a×b)×c =l（a2b-(ab)a）- m(b2a-(ab)b

=〔a(la + m b + na×b)〕b -〔b(la + m b + na×b)〕a      .(3)

将式(1)代入式(3)，可得

(a×b)×c=(ac)b - (bc)a.

即第一式成立.

因为a×(b×c)= - (b×c)×a，于是根据第一式可知

a×（b×c）=(ac)b - (ab)c.

即第二式成立.

例7 试求以A(2，0，-3)，B(3，2，0)，C(6，5，-3)为顶点的三角形的面积.

解：因为三角形ABC的面积S=，
其中

={3-2，2-0，0-(-3)}={1，2，3}，

={6-2，5-0，-3-(-3)}={4，5，0}，

从而

={-15，12，-3}，

所以三角形ABC的面积S为

.

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§2.1 平面的方程

在空间中确定一个平面的条件是，不在同一直线上的三点，或一条直线和此直线外一点，或两条相交直线，或两条平行直线.为了便于使用向量法，则采用“一点和一个非零向量确定一个平面”作为讨论的出发点.

2.1.1 平面的点法式、一般式方程

在空间直角坐标系［O；i，j，k］中，设给定一点P０和一个非零向量n，则通过P０点，并与向量n垂直的平面被唯一确定.

对任意的点P，记r= ，r0= ，显然由点P在这平面上的充分必要条件可得

?(r - r0)·n=0       （3.1.1）

称为平面的向量形式点法式或点向式方程，n称为平面的法向量.

平面向量形式一般式方程

?r·n + d = 0       (3.1.2)

其中d = - r0·n.

注
对于平面的向量形式方程(3.1.1)或(3.1.2)，若在空间直角坐标系［O；i，j，k］中给出相关的向量和点的坐标，就可以得到平面的坐标形式方程.

设平面经过点P0（x0，y0，z0），并与非零向量n={A，B，C}垂直，P(x，y，z)是平面上任意点，则由式(3.1.1)和（3.1.2）式可得

平面的坐标形式点法式方程：

A(x - x0) + B(y - y0) + C( z - z0) = 0.       (3.1.3)

平面坐标形式的一般式方程：

Ax + By + Cz + D = 0 ，        (3.1.4)

其中 D=-(Ax0 + By0 + Cz0).

定理
在空间直角坐标系［O；I,j,k］中，平面的方程是关于x，y，z的三元一次方程

Ax + By + Cz + D = 0；

反之，任意一个关于x，y，z的三元一次方程表示一个平面.

注
考察特殊情形的三元一次方程可以表示特殊的平面：

(1)若D=0，则方程(3.1.4)变为Ax+By+Cz=0，这时平面通过坐标原点.反之，若平面经过坐标原点，则方程(3.1.4)中的D=0.

(2)若C=0，则方程(3.1.4)变为Ax+By+D=0，这时平面平行于z轴.反之，若平面平行于z轴，则方程(3.1.4)中的C=0.类似地，Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面；By+Cz+D=0表示平行于x轴的平面.

(3)若B=C=0，则方程(3.1.4)变为Ax+D=0，这时平面平行于Oyz坐标平面.类似地，By+D=0表示的平面平行于Ozx坐标平面，Cz+D=0表示的平面平行于Oxy坐标平面.

(4)若C=D=0，则方程(3.1.4)变为Ax+By=0，这时平面通过z轴.类似地，Ax+Cz=0表示通过y轴的平面，By+Cz=0表示通过x轴的平面.

(5)若B=C=D=0，则方程(3.1.4)变为x=0，这时平面表示Oyz坐标平面.类似地，y=0表示Ozx坐标平面，z=0表示Oxy坐标平面.

2.1.2 平面的法线式方程

在空间直角坐标系中，设给定平面，P0(x0，y0，z0)是其上一点，从坐标原点O向给定平面作垂线，垂足为N，当给定平面不通过坐标原点O时， 就是此平面的一个法向量，它的单位向量记作n0；当给定平面通过坐标原点O(即N≡O)时，任意取定平面的一个法向量，它的单位向量也记作n0.从而，对于此平面上的任意点P(x，y，z)，有 ·n0= 0，此处n0 ={cosα，cosβ，cosγ}，其中α，β，γ为法向量n0的方向角.令

r= ，r0= ，得平面的向量形式法线式方程：

rn0 – p = 0      (3.1.5)

其中p = r0n0 .

平面的坐标形式法线式方程：?

xcosα + ycosβ + zcosγ – p = 0.       (3.1.6)

注 1）坐标形式法线式方程是平面的坐标形式一般式方程的特例，其一次项的系数是平面法向量的方向余弦，常数项-p≤0，p表示坐标原点到平面的距离.

2）当平面不通过坐标原点时，一次项所表示的(单位)法向量从坐标原点指向平面，法线式方程是唯一确定的.

3）当平面通过原点时，对应于两个法向量，就有两个法线式方程，其系数只差一个负号.

4）设给定平面的坐标形式一般式方程为

Ax + By + Cz + D = 0，

为了将其化为法线式方程，只要将?(称为法化因子)乘以上述一般式方程的两边，可得法线式方程

，

并选取λ的符号与常数项D相反的正负号.

3.1.3 平面的参数式方程

在空间直角坐标系中，设给定一点P0(x0，y0，z0)和两个不共线的向量u={u1，u2，u3}， v={v1，v2，v3}，则通过P0点，并与u，v两个向量平行的平面是唯一确定的.从而可推出平面的向量形式参数方程：

r=r0 + λu + μv.       (3.1.7)

及平面的向量形式点位式方程：

(r - r0，u，v) = 0       (3.1.8)

其中P为平面上的任意一点，r= ，r0= 分别为P，P0两点的定位向量，λ，μ为参数，u，v称为平面的方位向量.

平面坐标形式参数方程为：

?x = x0 + λu1+ μv1， ?y = y0 + λu2 + μv2， ?z = z0 + λu3 + μv3.

其中λ，μ为参数.

平面坐标形式点位方程为：

x-x0　y-y0　z-z0 　u1　　u2　　u3 　v1　　v2　　v3

= 0.

2.3.4 平面的三点式、截距式方程

在空间直角坐标系中，设给定不共线的三点Pi(xi，yi，zi)，i=1，2，3，则通过P1，P2，P3三点的平面是唯一确定的，设P(x，y，z)是平面上任意一点，则平面的向量形式三点式方程为：

(r – r1，r2 - r1，r3 - r1) = 0，       (3.1.11)

其中r= ，ri= ，i=1，2，3.

平面坐标形式三点式方程为

x - x1　y - y1　　z - z1 ?x2 - x1　y2- y1　　z2 - z1 ?x3 - x１　y3 - y1　z3 - z1

= 0

作为平面的三点式方程的特例，设已知三点为平面与三条坐标轴的交点：A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)，其中abc≠0，则平面的坐标形式截距式方程为：

.

其中a，b，c分别称为平面在x轴，y轴与z轴上的截距.

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§2.2 直线的方程

一般地，空间直线的位置可以由以下两种条件之一来确定：

(1)  经过一个定点，并与一个确定的向量平行；

(2)  两个平面的交线.

2.2.1 直线的点向式、参数式方程

在空间直角坐标系［O；i，j，k］中，设给定一点P0(x0，y0，z0)，与非零向量s={l,m,n}，则通过点P0，并与向量s平行的直线被唯一确定.设P是直线上的任意一点，则直线的向量形式点向式方程为：

（r – r0）×s = 0 　　　(3.2.1)

直线的向量形式参数方程为：

r = r0 + ts 　　　(3.2.2)

其中r= ，r0= ，t为参数.s称为直线的方向向量.

用坐标表示，可得直线的坐标形式点向式方程(或对称式方程或标准方程)

　　　(3.2.3)

直线的坐标形式参数式方程

（t是参数）　　　 (3.2.4)

其中l,m,n为直线的方向数.

2.2.2 直线的一般式、投影式和两点式方程

1．向量形式一般式方程

任意一条直线都可视为某两个平面的交线.设一条直线是两个平面π1和π2的交线，其中两个平面π1和π2的方程分别是

rn1+ d1= 0； rn2+ d2 = 0.

(n1不平行于n2)，则它们的交线方程即为直线的向量形式一般式方程：

rn1+ d1 = 0； rn2 + d2 = 0.

2．坐标形式一般式方程

若两个平面π1和π2的方程分别是 A1x + B1y + C1z + D1= 0与A2x + B2y + C2z + D2= 0 (A1∶B1∶C1≠A2∶B2∶C2)，则其相交成直线的方程，即直线的坐标形式一般式方程为：

A1x + B1y + C1z + D1= 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0

3．投影(或射影)式方程

当直线的方向数l,m,n全不为零时，可得直线的投影(或射影)式方程：

n(x - x0) = l(z - z0), n(y - y0) = m(z - z0).

或

n(x - x0) = l(z - z0), m(x - x0) = l(y - y0)，

或

m(x - x0) = l(y - y０), n(y - y0) = m(z - z0).

4．两点式方程

空间中不同的两个点决定唯一的一条直线.在空间直角坐标系中，设给定不同的两个点P１(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2).此时通过P1，P２两点的直线的方向向量可取

s = = {x2 - x1，y2 - y1，z2 - z1}，

从而通过P点并以s为方向向量直线的（坐标形式）两点式方程为

.

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§2.3 点、直线、平面之间的相关位置

空间中点、直线、平面之间的相关位置如下：

点在直线上或之外，点在平面上或之外；

平面与平面之间的位置关系：平行、相交、重合；

直线与直线之间的位置关系：平行、相交、重合、异面；

直线与平面之间的位置关系：直线在平面上，或直线与平面相交于一点，或直线与平面平行.

在空间直角坐标系中，点与直线、平面之间的位置关系确定，只需将点的坐标代入直线或平面的方程验证即可判定，以下讨论直线、平面之间的相关位置.

2.3.1 两个平面之间的位置关系

两个平面之间的位置关系有三种情形，即相交，平行和重合，它们的位置关系属于哪一种可以根据两个平面法向量的关系以及有无交点来判断.

在空间直角坐标系［O；i，j，k］中，设两个平面π1和π2的方程分别是

π1：A1x + B1y + C1z + D1 = 0，

π2：A2x + B2y + C2z + D2= 0，

则

(1) 两平面π1与π2相交的充分必要条件是A1∶B1∶C1≠A2∶B2∶C2；

(2) 两个平面π1与π2平行的充分必要条件是A1：A2=B1：B2=C1：C2≠D1：D2；

(3) 两个平面π1与π2重合的充分必要条件是A1：A2=B1：B2=C1：C2=D1：D2.

2.3.2 直线与平面之间的位置关系

直线与平面之间的位置关系有三种情形；即相交、平行和直线在平面上.

在空间直角坐标系中，设直线

l：
（x - x0）：l = (y - y0)：m = (z - z0)：n

和平面

π：  Ax + By + Cz + D = 0，

则

(1) 直线l与平面π相交的充分必要条件是：Al + Bm + Cn ≠ 0；

(2) 直线l与平面π平行的充分必要条件是

Al + Bm + Cn = 0， Ax0+By0+Cz0+D≠0，

(3) 直线l在平面π上的充分必要条件是

Al + Bm + Cn = 0， Ax0+By0+Cz0+D =0，

2.3.3 两条直线之间的位置关系

直线与直线之间的位置关系有以下几种情况：共面或异面.在共面的情况下又有相交,平行与重合三种情况.

在空间直角坐标系中，设两条直线

l1：(x - x1)：l1 = (y - y1)：m1 = (z - z1)：n1

l2：(x - x2)：l2= (y - y2)：m2= （z - z2）：n2，

则

(1) l1与l2是异面直线的充分必要条件是

≠0；

(2) l1与l2是共面直线的充分必要条件是

= 0；

(3) 两条直线l1与l2相交的充分必要条件是

= 0； l1∶m1∶n1≠l2∶m2∶n2；

(4) 两条直线l1与l2平行的充分必要条件是

l1∶m1∶n1= l2∶m2∶n2； l1∶m1∶n1≠(x2 - x1)∶(y2 - y1)∶(z2 - z1)；

(5)两条直线l1与l2重合的充分必要条件是

l1∶m1∶n1= l2∶m2∶n2； l1∶m1∶n1 = (x2 - x1)∶(y2 - y1)∶(z2 - z1)；

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§2.4  点、直线和平面之间的度量关系 2.4.1  点到平面的距离 在空间直角坐标系［O；i，j，k］中，设给定一点P1(x1，y1，z1)与一个平面 π：Ax + By + Cz + D = 0， 则点P1到平面π的距离为 . 其中称δ为点P1到平面π的离差. 注1）凡是与坐标原点处在平面同侧的点，则该点到平面的离差为负数. 2）凡是与坐标原点处在平面异侧的点，则该点到平面的离差为正数. 3）对于在平面同侧的点，点到平面的离差δ的符号相同. 4）对于在平面异侧的点，点到平面的离差δ的符号相反. 2.4.2 点到直线的距离 在空间直角坐标系［O；i，j，k］中，设一条直线l经过点P0，方向向量为s，则一点P1到直线l的距离d(P1，l)为 ， 其中r1= ，r0= . 2.4.3 两条直线之间的距离 两条直线l1，l2上的点之间的最短距离称为这两条直线之间的距离，记作d(l1，l2).若两条直线l1与l2平行，则直线l1上的任意点到直线l2上的距离就是l1和l2两条直线之间的距离，若两条直线l1与l2相交或重合，则它们之间的距离d(l1，l2) = 0. 与两条异面直线都垂直相交的直线称为这两条异面直线的公垂线. 在空间直角坐标系［O；i，j，k］中，设直线l1∶r = r1 + ts1与直线l2∶r = r2 + ts2为异面直线，其中r= ，ri= ，i =1，2，则两条异面直线l1与l2之间的距离d(l1，l2)为 . 注1）d(l1，l2)的几何意义是以 ，s1，s2为棱的平行六面体中以s1，s2为邻边的底面上的高. 2）设两条异面直线l1，l2的坐标形式标准方程为 l1：  (x - x11)：l1 = (y - y1)：m1 = (z - z1)：n1， l2：  (x - x21)：l2 = (y - y2)：m2 = (z - z2)：n2， 则l1与l2两条异面直线的公垂线l的坐标形式一般式方程为： 其中{l，m，n}={l1，m1，n1}×{l2，m2，n2}. 2.4.4 两个平面的交角 两个平面的交角是指这两个平面的法向量之间的夹角或其补角. 在空间直角坐标系中，设两个平面的方程分别为 π1：A1x + B1y + C1z + D1 = 0，π2：A2x + B2y + C2z + D2 = 0， π1与π2两个平面的交角为θ，则 . 特别地，π1⊥π2的充分必要条件是 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0. 2.4.5 直线与平面的交角 直线与平面的交角是指直线与它在平面上的垂直投影所交成的最小正角，当直线与平面垂直时，它们的夹角规定为90°. 设直线l的方向向量s = {l，m，n}，平面π的法向量 n = {A，B，C},则直线l与平面π的交角θ为，则 . 注 1）直线l⊥平面π的充分必要条件是s∥n，即 A∶B∶C = l∶m∶n； 2）直线l∥平面π的充分必要条件是s⊥n，即 Al + Bm + Cn = 0. 2.4.6 两条直线的交角 两条直线的交角是指它们的方向向量之间的夹角或其补角. 设直线l1的方向向量是 s1 = {l1，m1，n1}，直线l2的方向向量是s2 = {l2，m2，n2}，则两条直线l1与l2的交角θ=〈s1，s2〉或θ=π-〈s1，s2〉.故 特别地，直线l1与直线l2垂直的充分必要条件是 l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0.

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§2.5 平面束 1．平行平面束 设给定空间中一个平面π，则平行于平面π的一族平面称为平行平面束. 定理 在空间直角坐标系中，设给定平面 π∶Ax + By + Cz + D = 0， 则与平面π平行的平行平面束中平面的方程为 Ax + By + Cz + λ = 0， 其中λ为实数. 2 有轴平面束 设给定空间中一条直线l，则通过直线l的一族平面，称为有轴平面束，其中直线l称为有轴平面束的轴. 定理 在空间直角坐标系中，设给定直线l： A1x + B1y + C1x + D1 = 0， A2x + B2y + C2z + D2 = 0， 则以直线l为轴的有轴平面束中平面的方程为 λ1(A1x + B1y + C1z + D1) + λ2（A2x + B2y + C2z + D2） = 0， 其中λ1，λ2为不全为零的实数.

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第二章 例 题 例1  设平面通过P1(1,-3,0)，P2(2,-1,1)两点，并垂直于平面 2x + 5y + z + 1 = 0,试求此平面的参数式、一般式(坐标形式)与截距式方程. 解：根据题设条件可知，给定的平面是通过点P1(1，-3，0)，并平行于两个向量 u = = {1,2,1} 与 v = {2,5,1}(即平面2x+5y+z+1=0的法向量). 设P(x,y,z)为平面上任意一点，则得所求平面的向量形式参数方程为 λu + μv，或r = r1 + λu + μv. 其中λ，μ为参数. 用坐标表示，平面的坐标形式参数式方程为 x = 1 + λ + 2μ,? y = -3 + 2λ + 5μ， z = 0 + λ + μ. 消去上式中参数，得平面的坐标形式一般式方程为 3x – y – z – 6 = 0. 从而由此得平面的截距式方程： . 例2  试求直线l x + y – z – 1 = 0， x – y + z + 1 = 0， 在平面π∶x + y + z = 0上的投影直线的方程. 解：根据题设条件可知，直线l的方向向量s为 =  {0，- 2，- 2}. 在直线l的方程中，令y=0，则由x-z-1=0，x+z+1=0 解出x=0,z=-1.于是P0(0,0,-1)是直线l上的点，又平面π的法向量n={1,1,1}，因此经过直线l与平面π垂直的平面方程为 即y – z – 1 = 0.所以所求方程为： x + y + z = 0， y – z – 1 = 0. 例3  试求B和D的值使得直线l x - 2y + z + 2D = 0， 3x + By + z – 6 = 0 在Oxy坐标平面上. 解：在直线l的方程中，令y=0,则由 x + z + 2D = 0， 3x + z – 6 = 0， 解出 x = 3 + D，z = -(3 + 3D). 于是(3+D，0，-3-3D)是直线l上点的坐标.因为直线l的方向向量s为 =   { – 2 – B，2，B + 6}. 又Oxy坐标平面的方程z = 0，因此，B + 6 = 0，-3 - 3D = 0. 即B = -6，D = -1.所以当B = -6，D = -1时直线l在Oxy坐标平面上. 例4 试求通过点P0(1,1,1),并与两条直线 l1：  x：1 = y：2 = z：3，    l2：  (x-1)：2 =(y-2)：1 = (z-3)：4 都相交的直线的方程. 解法一 设所求直线l的方向向量s={l，m，n}，因为直线l与直线l1，l2都相交，于是 ＝0 ＝0， 即 -2m + n = 0，l + 2m – n = 0.由此解出 l∶m∶n =0∶1∶2. 因此，所求直线的方程为 (x-1)：0 = (y-1)：1 = (z-1)：2. 解法二 因为所求直线l过P0点，并与直线l1相交，于是直线l在由直线l1与点P0所决定的平面上.根据题设条件可知，直线l1与点P0所决定的平面的方程为 ＝0， 即 x - 2y + z = 0. 同理可得直线l2与点P0所决定的平面的方程为 x + 2y – z – 2 = 0. 因此，所求直线的方程为 x - 2y + z = 0， x + 2y – z – 2 =0. 例5  设给定两条直线 l1：  x：1 = (y+1)：0 = z：-1， l2：  (x-1)：1 = (y-1)：2 = (z+2)：0， 试证l1与l2两条直线为异面直线，并求l1与l2两条直线之间的距离，以及它们的公垂线. 解：根据题设可知，直线l1通过点P1(0，-1，0)，方向向量s1 = {1，0，-1}，直线l2通过点P2(1，1，-2)，方向向量 s2 = {1，2，0}，从而( ，s1，s2)为 = -4 ≠ 0， 所以l1与l2为异面直线. 又因为两条异面直线l1与l2的公垂线l的方向向量可取： s = s1×s2 = {2，-1，2}， 所以两条异面直线l1与l2之间的距离d(l1，l2)为 而两条异面直线l1与l2的公垂线方程为： 即 x + 4y + z + 4 = 0， 4x - 2y - 5z – 12 = 0. 例6  试求经过直线l： x + 5y + z = 0， x – z + 4 = 0， 并且与平面π： x - 4y - 8z + 12 = 0 的交角是45°的平面的方程. 解：设经过直线l的平面束中平面的的方程为 λ1(x + 5y + z) + λ2(x – z + 4 ) = 0， 即 (λ1+λ2)x + 5λ1y + (λ1-λ2)z + 4λ2=0. 根据题设条件，可知 cos45°＝ ， 解上式，可得λ1 = 0 或λ1∶λ2 = 4∶(-3). 因此，所求平面的方程为 x – z + 4 = 0 或 x + 20y + 7z – 12 = 0.