[空间解析几何]空间解析几何第三章|连载

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§3.1 曲面与方程

空间中的曲面可视为具有某些特征性质的点的集合(或满足某种条件的点的轨迹)，这种特征性质就是指点在曲面上的充分必要条件.在取定空间直角坐标系下，曲面上点的特征性质可以用点的坐标x，y，z之间的关系式表示，一般是用方程F(x，y，z)=0表示.反之，每一个形如F(x，y，z)=0的方程通常表示空间的一个曲面.

若一个三元方程F(x，y，z)=0和曲面S之间满足以下关系：

(1) 曲面S上任意点的坐标(x，y，z)都满足方程F(x，y，z)=0；

(2) 满足方程F(x，y，z)=0 的(x，y，z)是曲面S上点的坐标，

则称F(x，y，z)=0 为曲面S的方程，S称为方程的图形或曲面.

F(x，y，z) = 0称为曲面的一般方程.

空间的曲线也是具有某些特征性质的点的集合，如同直线可以作为两个平面的交线一样，曲线也可以作为两个曲面的交线，所以空间曲线的方程可以用两个曲面方程：F1(x，y，z)=0，F2(x，y，z)=0联立起来表示，即

F1(x，y，z) = 0， F2(x，y，z) = 0.

称为空间的一般方程.

在空间直角坐标系［O；i，j，k］中，若曲面S上点的坐标可以表示为两个参数的函数，即曲面的参数方程为：

x=f(u，v)， y=g(u，v)， z=h(u，v)，

其中a≤u≤b，c≤v≤d.

曲面S的参数方程的向量形式为：

r = r(u，v)，

其中r = ，r(u，v) = f(u，v)i + g(u，v)j + h(u，v)k.

在空间直角坐标系中，若曲线Γ上点的坐标可以表示为一个参数的函数，即

x=f(t)， y=g(t)， z=h(t)，

其中a≤t≤b，则称为曲线Γ的参数方程.

曲线Γ的参数方程的向量形式为

r = r(t)，?

其中r = ，r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k.

备注
根据关于曲面(或曲线)和方程的定义，一般可约定：若方程F(x，y，z)=0是曲面S的方程，则常用方程F(x，y，z)=0代替曲面S，并说曲面S：F(x，y，z)=0”或说“曲面F(x，y，z)=0”；对于曲线也有类似的约定.

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§3.2 球面 在空间中，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，称为球面，其中定点称为球心，定长称为半径。 在空间直角坐标系［O；i，j，k］中，设S是以点P0(x0，y0，z0)为球心，δ为半径的球面，点P(x，y，z)是球面S上的任意一点，则有 球面的向量形式方程为 (r - r0)2 = δ2。 其中r，r0分别表示P，P0两点的定位向量， =δ。 球面的坐标形式方程为 (x - x0)2 + ( y - y0)2 + (z - z0)2 = δ2。 注 1）坐标形式的方程可化为如下形式的三元二次方程： ?x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0， （*） 其特征是没有乘积项(指xy, yz, zx项)；平方项系数相同；A2 + B2 + C2 - 4D ＞0。 2）反之，任意形如式(*)的方程经过配方后都可化为 (x-a)2 + (y-b) 2 + (z-c) 2?= σ.   （**） 3） 式(**)中σ  符号与（**）表示图形的关系为 σ 的符号 方程（**）表示的图形 >0 球面以(a，b，c)为球心，半径为 =0 一点(a,b,c) <0 虚球面(即无实图形)

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§3.3 柱面 设空间中一条曲线Γ和方向v，则平行于方向v，并与曲线Γ相交的一族直线构成的曲面称为柱面，这些直线都称为柱面的母线，曲线Γ称为柱面的准线，v称为母线的方向。 注 1）柱面是一种特殊的曲面。对于一个柱面，它的准线不是唯一的，但是母线的方向是唯一的(注，平面除外)，与每一条母线都相交的曲线都可以作为柱面的准线。 2）柱面可视为空间中一条直线l当它沿着一条曲线Γ作平行(于方向v)移动时形成的轨迹(曲面)。 在空间直角坐标系［O；i，j，k］中，设柱面S的准线Γ的方程为 F1(x,y,z)=0， F2(x,y,z)=0， 母线的方向v = {l，m，n}，点P(x，y，z)在柱面S上的充分必要条件是在准线Γ上存在一点P0(x0，y0，z0)使得点P在通过点P0，并且方向为v的直线上，从而有 F1(x,y,z)=0， F2(x,y,z)=0， x = x0 + lt， y = y0 + mt， z = z0 + nt， (t是参数)。因此，从上式中消去x0，y0，z0与t，可得方程 F(x,y,z)=0， 它就是以Γ为准线，母线的方向为v的柱面S的方程. 在特殊位置下的柱面是指准线在一个坐标平面上，并且母线平行于某个坐标轴的柱面。 设柱面的准线Γ： f(x，y)=0， z=0， 母线平行于z轴，则该柱面的方程为： f(x，y) = 0。 一个母线平行于z轴的柱面，分别是在Oxy坐标平面上的特殊柱面： 方程 准线类型 柱面 椭圆 椭圆柱面 双曲线 双曲线柱面 抛物线 抛物线柱面 因为它们的方程都是二次的，所以又称为二次柱面。 注 一般地，在空间直角坐标系中，若一个柱面的母线平行于z轴(x轴,y轴)，则它的方程中不含变量z(不含变量x,不含变量y)；反之，一个三元方程中若不含变量z(不含变量x,不含变量y)，则它通常表示一个母线平行于z轴(x轴,y轴)的柱面。 以曲线Γ为准线，母线垂直于平面π的柱面称为曲线Γ在平面π上的投影柱面或射影柱面。 注1）若求曲线Γ: F1(x,y,z)=0， F2(x,y,z)=0， 在平面π：Ax + By + Cz + D = 0上的投影柱面的方程，则把Γ视为柱面的准线，平面π的法向量n = {A，B，C}作为柱面的母线方向，即可求得。 2）若求曲线Γ: F1(x,y,z)=0， F2(x,y,z)=0， 在Oxy坐标平面上的投影柱面的方程，则从 F1(x,y,z)=0， F2(x,y,z)=0， 中消去z所得到的方程F(x，y) = 0，它就是所求的投影柱面的方程。 3）对于没有给出准线方程和母线方向的柱面，可先确定它的准线方程和母线方向，然后根据一般位置下柱面方程的求法去求它的方程。若柱面是圆柱面，则可以根据圆柱面的特性，即圆柱面有一条对称轴，并且圆柱面上的每一点到对称轴的距离都相等，这个距离称为圆柱面的半径，用点到直线的距离公式求其方程。

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§3.4 锥面 设空间中一条曲线Γ和不在曲线Γ上的一点A，则通过点A，并与曲线Γ相交的一族直线构成的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的母线，曲线Γ称为锥面的准线，点A称为锥面的顶点. 注 1）锥面可视为空间中一条直线l，当它通过一个定点A，并沿着一条曲线Γ移动时形成的轨迹(曲面). 2）一个锥面的准线不唯一，与每一条母线都相交的曲线都可以作为准线.锥面是常见的一种特殊的曲面，是以顶点作为对称中心的曲面. 在空间直角坐标系［O；i，j，k］中，设给定一个锥面S，其顶点为A(a，b，c)，准线Γ的方程为 F(x，y，z)=0， G(x，y，z)=0， 则点P(x，y，z)在锥面S上的充分必要条件是点P在一条母线上，即在准线Γ上存在一点P0(x0，y0，z0)使得P点在直线AP0上，从而可得 x = a + (x0 - a)t， y = b + (y0 - b)t， （1） z = c + (z0-c)t， 其中t为参数与 xF(x0，y0，z0)=0， （2） G(x0，y0，z0)=0， 从式(1)，(2)中消去x0，y0，z0，t，可得 H(x，y，z)=0 它就是所求锥面的方程. 一般地，以 f(x，y)=0， z=k(k≠0) 为准线，顶点在坐标原点的锥面的方程是 f( kx/z，ky/z) = 0. 特别地，若曲线Γ是椭圆 则锥面的方程是： . 这是一个二次方程，它表示的锥面称为二次锥面. 对于正整数n，若方程F(x，y，z)=0对于任意实数t满足 F(tx，ty，tz)=tnF(x，y，z)， 则称方程F(x，y，z)=0为n次齐次方程. 在空间直角坐标系中，关于x，y，z的齐次方程表示的曲面是以坐标原点为顶点的一个锥面. 注 一般地，关于x-a，y-b，z-c的齐次方程表示一个以点A(a，b，c)为顶点的锥面. 对于没有直接给出准线方程和顶点坐标的锥面，可先求出它们的准线方程和顶点坐标，然后求出锥面的方程.若锥面是圆锥面，则可以根据圆锥面的特性求其方程.由于圆锥面有一条对称轴l，圆锥面的每一条母线与对称轴l的夹角(锐角)都相等，这个锐角称为圆锥面的半顶角.因此，可以根据两条直线的夹角公式建立圆锥面的方程.

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§3.5 旋转面

在空间中，一条曲线Γ绕一条直线l旋转所形成的曲面称为旋转面，其中Γ称为母线，l称为旋转轴.

以旋转轴l为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线，经线可以作为母线，但母线不一定是经线.垂直于旋转轴l的平面与旋转面的交线称为旋转面的纬线或纬圆.母线Γ上任意点绕旋转轴l旋转都产生一个纬圆.

注?球面，圆柱面和圆锥面都是旋转曲面.

在空间直角坐标系［O；i，j，k］中，设给定一个旋转面S，其母线的方程为Γ:

F(x，y，z)=0， G(x，y，z)=0，

旋转轴的方程为l:

x = a + lt， y = b + mt， z = c + nt，

其中t为参数，则点P(x，y，z)在旋转面S上的充分必要条件是点P在经过母线Γ上某一点P0(x0，y0，z0)的纬圆上，其中经过点P0的纬圆可视为以旋转轴l上点E(a，b，c)为球心，d(E，P0)为半径的球面与通过点P0且垂直于旋转轴l的平面的交线，即

(x-a)2 + (y-b)22 + (z-c)2 = (x0-a)2 + (y0-b)2 + (z0-c)2， (x-x0) + m(y-y0) + n(z-z0) = 0. (1)

又点P0(x0，y0，z0)在母线Γ上，从而可得

F(x0，y0，z0)=0， G(x0，y0，z0)=0，（2）

从式(1)与式(2)消去x0，y0，z0，可得

H(x，y，z)=0.

它就是所求旋转面的方程.

一般地，由曲线Γ：

f(z，x)=0， y = 0

绕z轴旋转所形成的旋转面的方程为：，绕x轴旋转所形成的旋转面的方程为 .其他坐标平面上的曲线绕坐标轴旋转所形成的旋转面的方程也有类似的规律.

名称	母线	旋转轴	方程
旋转椭球面	x = 0	Z轴
		Y轴
旋转单叶双曲面	x = 0	Z轴
旋转双叶双曲面		Y轴
旋转抛物面	x = 0	Z轴

注（1）若一个三元方程中有两个变量的平方项系数相同，又不含这两个变量的一次项和乘积项，则这个方程表示的曲面通常是旋转面.

（2）不具备上述条件的三元方程也可能是旋转面的方程，如圆绕z轴旋转所产生的圆环面.

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第三章 例 题 例1 试将下列参数方程化为一般方程： (1) x = a cosu cosv， y = b cosu sinv，      (-π/2≤u≤π/2，-π≤v<π)； z = c sinu， (2) x = a(u + v)， y = b(u - v)，       (-∞＜u,v<+&micro;)； z = 2uv， (3) x = 3sint， y = 4sint，      (0≤t<2π) z = 5cost， 解：对于给定的参数方程，消去其中的参数，可得所求的一般方程.即 (1) ； (2)   ；　　 (3) x2 + y2 + z2 = 25， 4x - 3y = 0. 例2  在空间中，试求到两定点的距离之差等于常数的点的轨迹方程. 提示：在建立曲面或空间曲线的方程的时候，若已知条件中没有给出坐标系，则应先建立坐标系，然后再建立曲面或空间曲线的一般方程或参数方程 解：建立空间直角坐标系［O；I,j,k]，使得两定点坐标分别为(0，0，c)，(0，0，-c)，并设常数为2b，根据题意有b＜c. 设动点P(x，y，z)，根据题设条件，可得 . 上式化简后，可得 b2x2 + b2y2 + (b2 - c2)z2 + b2(c2 - b2) = 0.?? 若令c2 - b2 = a2，则得 ， 即为所求的轨迹方程. 例3  试求经过不共线三点P(1，0，0)，Q(0，1，0)，R(0，0，1)的圆的方程. 解：在空间中，取不与P，Q，R三点共面的一点O(0，0，0)，存在一球面经过四点P，Q，R，O，设球面的坐标形式方程为 ?x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0， 可得： 1 + A + D = 0 1 + B + D = 0 1 + C + D = 0 D=0 于是解出：A = -1，B = -1，C = -1，D = 0，故球面的方程为： x2 + y2 + z2 – x – y – z = 0， 又过P，Q，R三点的平面的方程为 x + y + z – 1 = 0.所以过P，Q，R三点的圆的方程为 x2 + y2 + z2 – x – y – z = 0， x + y + z – 1 = 0. 即 x2 + y2 + z2 = 1， x + y + z = 1. 此外，所求圆的圆心为M(1/3，1/3，1/3)，圆的半径. 例4  设柱面的准线是球面x2 + y2 + z2 = 9与平面x + y = 0的交线，母线垂直于准线所在的平面，试求此柱面的方程. 解：根据题设条件可知，柱面的准线为Γ： x2 + y2 + z2 = 9 x + y = 0 母线方向是v = {1，1，0}.设P0(x0，y0，z0)是Γ上一点，则 x02 + y02 + z02 = 9 　　　（1） x0 + y0 = 0 又经过P0点，并与方向v平行的直线的方程为： x = x0 + t， y = y0 + t， 　　　（2） z = z0. (t是参数).  将式(2)代入式(1)，可得 (x-t)2 + (y-t)2+ z2 = 9，　　　 (3) x – t + y – t = 0. 　　　　　(4) 由式(4)解出：t = （x + y）/2. 将其代入式(3)，化简可得柱面的方程为 x2 - 2xy + y2 + 2z2 – 18 = 0. 例5  试求以曲线Γ： x２ + y２ = 3， z２ = 2x 为准线，顶点在坐标原点的锥面的方程. 解：设P0(x0，y0，z0)是曲线Γ上一点，则得 x02 + y02 = 3，　　　（1） z02 = 2x0 又直线OP0的方程为： x = x0t， y = y0t， (t是参数). 　 　 　（2） z = z0t， 将式(2)代入式(1)，可得 (x/t)2 + (y/t)2 = 3，　　　 (3) (z/t)2 = 2(x/t). 　 　 　 　(4) 由(4)式解出 t = z2/（2x）.将其代入(3)式，可得所求锥面的方程为 4x4 + 4x2y2 - 3z4=0. 例6  试证曲线Γ： x = x(t)， y = y(t)， （a≤t≤b）? z = z(t)， 绕z轴旋转所产生的旋转曲面的方程为 ， ， . 其中a≤t≤b，0≤θ＜2π. 证明：设t０对应曲线Γ上一点P０，则经过P０点的纬圆的参数方程为 ， ，    (0≤θ<π) . 因为t０可取a与b之间的任意实数(即a≤t０≤b)，所以上述方程就是所要证的旋转面的方程.