[空间解析几何]§4.2? 单叶双曲面和双叶双曲面 |连载

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§4.2? 单叶双曲面和双叶双曲面 4.2.1 单叶双曲面 在空间直角坐标系中，方程 （a，b，c>0） （*） 表示的曲面称为单叶双曲面。 当a=b时，方程(*)表示旋转单叶双曲面。 (1)  对称性 由方程（*)可知，它表示的曲面关于坐标原点、坐标平面、坐标轴均是对称的，坐标原点是它的对称中心，坐标轴是它的对称轴，坐标平面是它的对称平面。 (2)  范围 曲面(*)上的点在柱面 的外部或柱面上。 (3)  形状 曲面(*)与对称轴x轴，y轴分别交于两点，交点称为顶点，它们的坐标分别是(±a，0，0)，(0，±b，0)，与对称轴z轴没有交点，因此它的顶点只有四个。 用平面z=k截曲面(*)得到的交线是椭圆，其方程是 z = k 当k=0时，交线称为腰椭圆。 当|k|无限增大时，曲面(*)与锥面 可以任意接近，这个锥面称为单叶双曲面的渐近锥面。 用平面y = k截曲面(*)得到的交线的方程是 y = k 当|k|＜b时，交线为双曲线，它的实轴平行于x轴，虚轴平行于z轴； 当|k|＞b时，交线是双曲线，它的实轴平行于z轴，虚轴平行于x轴； 当|k|=b时，交线为两条相交直线。 4.2.2 双叶双曲面 在空间直角坐标系中，方程 （a，b，c>0） （**） 表示的曲面称为双叶双曲面。 当a=b时，方程(**)表示旋转双叶双曲面。 (1)  对称性 由方程（**)可知，它表示的曲面关于坐标原点、坐标平面、坐标轴均是对称的，坐标原点是它的对称中心，坐标轴是它的对称轴，坐标平面是它的对称平面。 (2)  范围 在z = ±c两个平面之间没有曲面(**)上的点。 (3)  形状 曲面(**)与对称轴x轴，y轴没有交点，与对称轴z轴交于两个点，交点称为顶点，它们的坐标分别是(0，0，±c)，(0，±b，0)，因此它的顶点只有两个。 用平面z=k截曲面(**)得到的交线方程是 z = k 当|k|>c时，交线是椭圆。 锥面 是双叶双曲面的渐近锥面。 当|k|<c时，没有交点。 当|k|=c时，交点为一点。 用平面y = k截曲面(**)得到的交线是双曲线，其方程是 y = k 它的实轴平行于z轴，虚轴平行于x轴。