[空间解析几何]§4.3 椭圆抛物面与双曲抛物面 |连载

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§4.3 ?椭圆抛物面与双曲抛物面 4.3.1 椭圆抛物面 在空间直角坐标系中，方程 ，（a，b>0） （1） 表示的曲面称为椭圆抛物面。 方程(1)称为椭圆抛物面的标准方程。 当a=b时，方程(1)式表示旋转抛物面。 (1)  对称性 由方程(1)可知，它表示的曲面关于z轴、Oxz坐标平面和Oyz坐标平面均是对称的。z轴是它的对称轴，Oxz坐标平面和Oyz坐标平面都是它的对称平面。 (2)  范围 z≥0。 (3)  形状 用平面z=k截曲面(1)得到的交线的方程是 z = k 当k＞0时，交线是椭圆，并随着z的增大，椭圆的半轴也增大。 当k=0时，交线为一点，即坐标原点，它是椭圆抛物面与其对称轴z轴的交点，称为顶点。 当k＜0时，没有交线。 4.3.2 双曲抛物面 在空间直角坐标系中，方程 ，（a，b>0） （2） 表示的曲面称为双曲抛物面，也称为马鞍面。 (1)  对称性 由方程(2)可知，它表示的曲面关于z轴，Oxz坐标平面和Oyz坐标平面均是对称的。z轴是它的对称轴，Oxz坐标平面和Oyz坐标平面都是它的对称平面。 (2)  范围 曲面是无界的。 (3)  形状 用平面z=k截曲面(2)得到的交线的方程是 z = k 当k＞0时，交线是双曲线，它的实轴平行于x轴，虚轴平行于y轴。 当k＜0时，交线是双曲线，它的实轴平行于y轴，虚轴平行于x轴。 当k=0时，交线是两条相交直线，其方程为 z = 0 和 z = 0 用平面y=k截曲面(2)得到的交线是抛物线，它的方程 y = k 用平面x=k截曲面(2)得到的交线是抛物线，它的方程是 x = k 双曲抛物面与对称轴z轴的交点，称为顶点，也称为鞍点。