[空间解析几何]第四章例题 |连载

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第四章 例 题 例1  设双曲抛物面的顶点为坐标原点，对称平面为Oxz坐标平面、Oyz坐标平面，并经过点(1，2，0)和点(1/3，-1，1)，试求这个双曲抛物面的方程. 解：根据题设条件，可设所求双曲抛物面的方程为 Ax2 + By2 = 2z. 因为点(1，2，0)和点(1/3，-1，1)都在曲面上，于是可得 A + 4 B = 0， 且 A/9 + B = 2. 由此解出 A= - 72/5，B= 18/5. 因此，所求双曲抛物面的方程为 36x2 - 9y2 = -5z. 例2  试求在单叶双曲面 上经过M(2，1，3)点的直母线方程. 解：单叶双曲面 的λ族直母线为 其中λ1和λ2为不全为零的任意实数.将M点的坐标代入上式，可得 λ1(1+1)=λ2(1+1)， λ2(1-1)=λ1(1-1)， 从而λ1=λ2.因此，所求的一条直母线的方程为： 3x - 6y + 2z – 6 = 0， 3x + 6y - 2z – 6 = 0. 单叶双曲面的μ族直母线为 其中μ1和μ2为不全为零的任意实数.将M点的坐标代入上式，可得 μ1(1+1)=μ2(1-1)， μ2(1-1)=μ1(1+1)， 从而μ1=0.因此，所求的另一条直母线的方程为 3x - 2z = 0， y – 1 = 0. 例3  试作出空间曲线Γ： x + y = 1， y２ + z２ = 1 在空间直角坐标系中第一卦限的简图. 解：曲线Γ在三个坐标平面Oxy，Oyz和Ozx上投影曲线的方程分别为 Γxy: x + y = 1， z = 0. Γyz: x２ + z２ = 1， x = 0. Γzx: (x-1)２ + z２ = 1， y = 0. 根据曲线Γ的投影曲线Γxy和Γyz作出曲线Γ的简图如图（1）；根据曲线Γ的投影曲线Γxy和Γzx作出曲线Γ的简图如图（2）. 图（1） 图（2） 例4  试作出由曲面y2 + z2 = 1，平面x + y = 1以及三个坐标平面在第一象限所围成的空间区域的简图，并用不等式组表示上述空间区域. 解：由圆柱面y2 + z2 = 1，平面x + y = 1，以及三个坐标平面所围成的区域在第一卦限部分可用如下不等式组表示： x≥0，y≥0，z≥0，x + y≤1和y2 + z2≤1. 圆柱面y2 + z2= 1与平面x = 0，平面y = 0和平面x + y = 1的交线分别为圆、直线和椭圆，平面x + y = 1与平面y = 0，平面z = 0的交线都是直线，将这5条交线都画出来，这些曲面和平面在第一卦限所围的部分就是所求的空间区域，其简图如图（3）所示.其中关键是作出圆柱面y2 + z2 = 1与平面x + y = 1的交线. 图（3）