例题1:试通过坐标变换将二次方程5x2 + 4xy + 2y2 - 24x - 12y + 18=0化为标准形式,写出坐标变换公式,并作出其图形. 解:根据 ,得 ![](http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123/xx123/5-1-123.files/image002.gif) ,即 2tan2θ+3tanθ-2=0,解得:tanθ=1/2或-2,取tanθ=1/2,则 , (1)原方程为:6x’2 + y’2 - 12Öx’ + 18 = 0,这是椭圆型曲线.将它配方得 6(x’ - )2 +y’2 –12 = 0 (2)由(1)式和(2)式可得从坐标系O-XY到坐标系O*-X*Y*的坐标变换公式为: (3)点O*是曲线的对称中心,在原坐标系中的坐标为(2,1),旋转角由tanθ=1/2(0≤θ<π/2)决定,故得到二次方程的图形如下: 解:因为 a11a22 - a122 = 5×2 – 4 =6≠0,于是曲线有对称中心(x0,y0)满足 解得
(x0,y0)=(2,1),它是曲线的对称中心,作坐标系的平移变换 将坐标系O-XY的原点平移到二次曲线的对称中心O*(2,1),并消去一次项,得 5x'2 + 4x'y' +2y'2–12=0 (4) 得tanθ=1/2或-2,取tanθ=1/2,从而得到坐标系旋转变换的坐标变换公式 .5x2 + 4xy + 2y2 - 24x - 12y + 18=0, I1 = , I 2 = , = =-72≠0, 因为I2>0,从而曲线是椭圆型曲线,由I1和I3异号,于是这条曲线就是椭圆,特征程为 . |