不等式

imath

由于最近迷恋不等式，准备有空就在这个帖子回复几道小题，有些我是知道怎么做的，有些我自己也不知道怎么做。但是无论如何，都以不等式的探讨为主。
今晚就先发一道简单题预热吧。

『已知a＞0，b＞0，a+b=1，试计算1/a+1/b的最小值』

lch

应该是1吧

imath

应该是4
1/a+1/b=(a+b)(1/a+1/b)
构造向量v=(sqrt a,sqrt b),w=(1/sqrt a,1/sqrt b)
|v||w|>=v∙w=2
(a+b)(1/a+1/b)=(|v||w|)^2>=4

imath

『a,b,c>0.,求证[a^2+b^2]/[c*[a+b+c]]+[b^2+c^2]/[a*[a+b+c]]+[a^2+c^2]/[b*[a+b+c]]>=2』

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来道高考改编题[之所以改编是因为原题我记不住了]

『设a=2^x,计算[a+1]^2/[[2a+1][a+2]]的最小值』

水瓜

神马……向量？家里有本高等数学就讲这个和矩阵……

imath

你要是上的直升班或者在中考后提前玩了高一数学的话应该知道一个关于向量的不等式 「两个向量的长度积大于等于其数量积」

imath

准备发给Cube的不等式:
『已知a,b,c为正数,求证a/sqrt[a^2+8bc]+b/sqrt[b^2+8ac]+c/sqrt[c^2+8ab]>=1』
『设a=2^x,b=2^y,c=2^z,a+b+c=1,计算a/[b+1]+b/[c+1]+c/[a+1]的最小值』
『设a=2^x,b=2^y,a+b=1,k>0,n属于N+,计算1/x^n +k/y^n的最小值』
『设a=2^x,b=2^y,c=2^z,a+b+c=1,计算1/a^2+8/b^2+1/c^2的最小值』
『已知5a+4b+3c+2d+e=30,计算a^2+2b^2+3c^2+4d^2+5e^2的最小值』


也欢迎大家发各种不等式