使用82ES实现牛顿法解方程

zasdfgbnm · 发表于 2010-4-22 07:35:04

牛顿法解方程需要先给定一个初值x₀，将该值赋值给变量x
$x_{0}\rightarrow X$
然后反复执行代码：
$X-\frac{f(X)}{f'(X)}\rightarrow X$
其中f'(x)是f(x)对x的导函数，可以用手求，也可以利用
$f'(x)\approx\frac{f(x+10^{-5})-f(x)}{10^{-5}}$
打入计算器，10^-5也可以换成其他比较小的数，只要不超过计算器的精确度就不会影响最终结果。
此程序还可以精简一下：
先将x₀赋值给Ans（这个都会吧～）
然后反复执行代码：
$Ans-\frac{f(Ans)}{f'(Ans)}$
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牛顿法解方程效率相当高
我们可以假设根为ξ，x_i为第i次执行语句后的X的值，理论分析可得
$\mid\xi-x_{i+1}\mid=\mu_{i}\mid\xi-x_{i}\mid^{2}$
其中，μ_i由方程和初值决定
例如：要解方程
$f(x)=x^{3}-7x^{2}+6x+20=0$
初值x₀=-1.5
对于此函数，理论上可以分析出，μ_i<0.5对于一切正整数i成立（这点是关键，并且几乎所有方程都能得出类似结论），并且
$\mid\xi-x_{0}\mid<0.33$
于是有
$\mid\xi-x_{1}\mid=\mu_{0}\mid\xi-x_{0}\mid^{2}<0.5\times0.33^{2}<0.06$
$\mid\xi-x_{2}\mid=\mu_{1}\mid\xi-x_{1}\mid^{2}<0.5\times0.06^{2}<2\times10^{-3}$
$\mid\xi-x_{3}\mid=\mu_{2}\mid\xi-x_{2}\mid^{2}<0.5\times(2\times10^{-3})^{2}=2\times10^{-6}$
$\mid\xi-x_{4}\mid=\mu_{3}\mid\xi-x_{3}\mid^{2}<0.5\times(2\times10^{-6})^{2}=2\times10^{-12}$
$\mid\xi-x_{5}\mid<2\times10^{-24}$
$\mid\xi-x_{6}\mid<2\times10^{-48}$
$\mid\xi-x_{7}\mid<2\times10^{-96}$
$\mid\xi-x_{8}\mid<2\times10^{-192}$
$\mid\xi-x_{9}\mid<2\times10^{-384}$
$\mid\xi-x_{10}\mid<2\times10^{-768}$
这就是说，对此方程来说，要让精确度达到计算器的精度，只需要重复执行代码4次，如果用电脑进行高精度运算，只需执行代码10次就可以精确到小数点后至少767位（由于理论分析时进行了放大处理，所以实际精确度可达八百多位有效数字），这就是指数爆炸的威力
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想更多了解牛顿法，可以参见以下书籍（我全没读过）
Hildebrand,Introduction to Numerical Analysis,McGraw-Hill Book Co.,1956
Householder,Principles of Numerical Analysis,McGraw-Hill Book Co.,1953
Whittaker&Robinson,The Calculus of Observations,Blackie and Sons,Ltd.,1929

zasdfgbnm · 发表于 2010-4-22 07:59:13

A nal也要屏蔽？

zasdfgbnm · 发表于 2010-4-22 07:59:58

**ysis

hcz · 发表于 2010-4-22 15:57:15

Analysis？=.=

urill · 发表于 2010-4-22 19:51:58

**og....

Nero · 发表于 2010-4-22 20:34:48

Analysis。。。

zasdfgbnm · 发表于 2010-4-23 07:34:33

6# 991es82es
你帮忙改的么？谢谢了

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使用82ES实现牛顿法解方程

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