[空间解析几何]§4.5 单叶双曲面和双曲抛物面的直纹性 |连载

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§4.5 ?单叶双曲面和双曲抛物面的直纹性 由一族直线构成的曲面称为直纹面，直线族中的每一条直线都称为直母线.显然，在二次曲面中，二次柱面和二次锥面都是直纹面.本节将证明单叶双曲面和双曲抛物面也都是直纹面，而且它们与二次柱面和二次锥面不同，通过曲面上的每一点都有两条直母线. 4.5.1 单叶双曲面的直纹性 设给定单叶双曲面S，其方程为 . 则它有两族直母线（称为λ族直母线和μ族直母线），它们的方程分别为 λ族： （其中λ1和λ2为不全为零的任意实数） μ族： （其中μ1和μ2为不全为零的任意实数.） 单叶双曲面的直母线具有以下性质： (1) 经过单叶双曲面上任意点，两族直母线中各有一条直母线通过此点； (2) 单叶双曲面上同族的两条直母线不共面； (3) 单叶双曲面上不同族的两条直母线共面(相交或平行). 4.5.2 双曲抛物面的直纹性 设双曲抛物面S的方程为 ， 则双曲抛物面S有两族直母线，分别称为λ族直母线与μ族直母线.它们的方程分别为： λ族： μ族： 其中λ，μ为任意实数.对于双曲抛物面S上任意一点，两族直母线中各有一条直母线通过该点. 双曲抛物面的直母线具有以下性质： (1) 经过双曲抛物面上任意点，两族直母线中各有一条直母线通过此点； (2) 双曲抛物面上同族的两条直母线不共面； (3) 双曲抛物面上不同族的两条直母线共面(相交)； (4) 双曲抛物面上同族的直母线平行于同一平面.