[空间解析几何]第五章例题 |连载

imath

第五章
例
题

例题1：试通过坐标变换将二次方程5x2 + 4xy + 2y2 - 24x - 12y + 18=0化为标准形式，写出坐标变换公式，并作出其图形.

方法一：先作旋转变换，再作平移变换.

解：根据，得

，

即 2tan2θ+3tanθ-2=0，解得：tanθ=1/2或-2，取tanθ=1/2，则

，

从而得到坐标系旋转变换的坐标变换公式

　　　（1）

原方程为：6x’2 + y’2 - 12Öx’ + 18 = 0，这是椭圆型曲线.将它配方得

6（x’ - ）2 +y’2 –12 = 0

作坐标系的平移变换

　　　（2）

得 6x*2 + y*2 –12=0，即

其图形为椭圆.

由（1）式和（2）式可得从坐标系O-XY到坐标系O*-X*Y*的坐标变换公式为：

　　　（3）

点O*是曲线的对称中心，在原坐标系中的坐标为（2，1），旋转角由tanθ=1/2（0≤θ<π/2）决定，故得到二次方程的图形如下：

方法二：先平移变换，再旋转变换.

解：因为 a11a22 - a122 = 5×2 – 4 =6≠0，于是曲线有对称中心（x0，y0）满足

	5x0 – 2y0 –12 =0
	2x0 + 2y0 –6 =0

解得
（x0，y0）=（2，1），它是曲线的对称中心，作坐标系的平移变换

	x = x'+2
	y = y'+1

将坐标系O-XY的原点平移到二次曲线的对称中心O*（2，1），并消去一次项，得

5x'2 + 4x'y' +2y'2–12=0 　　　(4)

再作旋转变换消去x'y'项，这由

得tanθ=1/2或-2，取tanθ=1/2，从而得到坐标系旋转变换的坐标变换公式

方程化简为

.

坐标变换公式及其图形同方法一.

例题2：设给定二次方程

5x2 + 4xy + 2y2 - 24x - 12y + 18=0，

试用不变量判别二次曲线的类型，并化简方程.

解：根据计算可知

I1 = ，

I 2 = ，

= =-72≠0，

因为I2>0，从而曲线是椭圆型曲线，由I1和I3异号，于是这条曲线就是椭圆，特征程为

λ2 –7λ +6 =0

解得λ为6或1，于是曲线方程化简为

6x*2 + y*2 –12=0，

即

.

imath

至此，5章空间解析几何全部发完。
以后我会慢慢再找一些完整的课件慢慢发的。。敬请期待

a4226218

顶！！！！虽然我不知道是什么。。。

urill

别刷屏好么..放在一个主题里多好

imath

别刷屏好么..放在一个主题里多好
urill 发表于 2011-1-21 17:08

不好,那这个帖子多长啊..内存不足..

imath

这只是开端,以后我还会复制一些数学分析或者组合数学等等之类的连载课件的
当然,大家也可以发啊,既然是"学术",不发关于学习的,那又发什么呢

noivan

第五章
例
题例题1：试通过坐标变换将二次方程5x2 + 4xy + 2y2 - 24x - 12y + 18=0化为标准形式，写出坐标变换公式，并作出其图形.方法一：先作旋转变换，再作平移变换.解：根据http://jpkc.xcc.sc.cn/gdsxc/jj123 ...
imath 发表于 2011-1-20 23:32

还学矩阵呢！？

urill

不好,那这个帖子多长啊..内存不足..
imath 发表于 2011-1-21 17:28

内存神马的...这么点东西对于mysql应该不是问题